刚出生的婴儿是否对算术有抽象的认识呢？这个问题似乎很荒谬。直觉告诉我们，婴儿是初始的生命体，除了学习能力，他们没有其他任何能力。但是，如果我们的研究假设是正确的，那就意味着人类天生具有理解数量的能力，这种能力通过进化传承下来，引导着人类学习数学。儿童在一岁半左右会进入语言大发展时期，一些心理学家称之为“词汇爆发期”，在此之前，这种原数模块（protonumerical module）便已准备就绪，它将会影响儿童的数词学习。因此，在生命的第一年，婴儿应该能够理解部分算术知识。
根据建构主义理论，在生命的第一年，儿童处于“感觉运动”（sensorimotor）阶段：他们会通过5种感官来探索周围的世界，并通过动作来控制环境。皮亚杰认为，这一阶段的儿童一定会注意到某些显著的规律，比如，消失在遮屏后面的物品会在遮屏落下后重新出现，两个物体相撞不可能相互渗透，等等。在这些发现的引导下，婴儿会对他们所生存的世界逐渐形成一系列更为精炼和抽象的心理表征。根据这个观点，抽象思维的发展是一系列逐级递进的心理功能的展开，这就是心理学家能够识别和区分的皮亚杰理论中的各阶段。
对婴儿来说，客体甚至是不存在的；要把经验整合成事物必须建立一个最初的结构。这里需要强调的是，婴儿发现客体的存在并不是像探险家发现山川那样，而是像一个人发现音乐一样：这个曲子他已经听了很多年，但是之前这段声音对他而言只是噪声。“发现了客体”之后，他们还需要经历很长的时间来学会分类、系列化、总结，并最终了解数字。
皮亚杰和他的许多合作者收集了很多证据证明幼童没有算术理解力。比如，如果你在衣服下藏一个玩具，10个月大的婴儿不会去寻找它。皮亚杰认为，这个发现意味着婴儿认为看不见的物体是不存在的。皮亚杰把这种现象称为“客体永久性”（object permanence）概念的缺失。它是否表明婴儿完全不了解他们所生活的环境？如果婴儿没有意识到他们看不到的物体仍然存在，那么他们怎么能够了解更抽象、更易逝的数字概念呢？
皮亚杰的其他观察结果似乎表明，儿童要到4岁或5岁时才能理解数字概念。在此之前，儿童不能通过皮亚杰所谓的“数量守恒”（number conservation）测试。首先，实验者向儿童展示6个玻璃杯和6个瓶子，它们之间的间隔相同，杯子与瓶子各占一排。此时，如果问儿童玻璃杯多还是瓶子多，他们会回答“一样多”。显然，儿童是根据两排物品的一一对应关系来解决这个问题的。接下来，实验者将玻璃杯的间隔加大，这样玻璃杯那排就比瓶子那排长。显然，这项操作对数字本身没有影响。但是，当实验者重复上一个问题时，儿童普遍回答玻璃杯比瓶子多。他们似乎没有意识到移动客体并没有改变客体的数量。心理学家据此认为他们没有“数量守恒”的概念。
即使儿童通过了数量守恒的测试，建构主义者仍然认为他们并不具备多少算术概念。对于七八岁的儿童而言，一些简单的数字测试仍然很容易就能难倒他们。比如，实验者向他们展示由6朵玫瑰和2朵郁金香共8朵花组成的花束，然后问他们：是玫瑰花多还是花多？大多数儿童会回答玫瑰花比花多！于是皮亚杰肯定地得出结论：在推理能力形成之前，儿童缺乏最基本的集合论（set theory）知识。许多数学家认为，集合论的知识是算术的基础，他们似乎不知道子集来自原集合，子集的元素不可能多于原集合。
皮亚杰的发现对我们教育系统的影响很大。他的结论向人们传达了一种悲观的态度，并让教育者采取观望的教育策略。这个理论宣称，儿童以固定的成长节奏逐步达到皮亚杰阶段论中的每一个阶段。在六七岁之前，儿童没有为算术“做好准备”。因此，较早地进行数学教育是徒劳的，甚至是一种有害的尝试。如果过早向儿童讲授数学，儿童会在头脑中歪曲数字概念，因为他们不能真正理解，只能依靠死记硬背的方式来学习。而如果不明白算术是什么，儿童就会对数学学习产生强烈的焦虑。根据皮亚杰的理论，最好从学习逻辑和排序起步，因为这些概念是习得数字概念的前提。这就是为什么即便是在今天，大部分学前班的儿童在学习计数之前，必须花费大量时间来堆积大小不一的方块儿。
这种悲观的理论合理吗？我们已经知道老鼠和鸽子能够在客体的空间布局发生改变的情况下识别物体的数量，我们也已经知道黑猩猩会自发地从两者中选择数量较多的那一个。人类儿童四五岁时会在算术方面比其他动物落后如此之多，这是否可信呢？
现在我们知道，皮亚杰建构主义的这部分内容是错误的。显然，幼童在算术方面确实有很多要学习的地方，他们对数字的概念性认识也确实是随着年龄的增长和教育的深入而逐渐提升的。但是，即使他们刚刚出生，也并不是完全没有对数字的真正的心理表征！只是我们需要使用适合他们年龄的研究方法来进行测试。皮亚杰所推崇的测试没有能够反映儿童真正的能力。其中最主要的缺陷在于，这一测试依赖实验者和幼小的被试之间的开放性对话。儿童是否真的理解了所有问题？最重要的是，他们对问题的理解是否与成年人对问题的理解一样？有多种理由让我们对此给出否定的答案。运用类似于动物实验的情境，用非语言的方式对儿童的思维进行探测时，他们表现出相当强的数字能力。
当两排物品以一一对应的方式排列时（左图），3到4岁的儿童会报告它们数量相等。如果把下面一排缩短并且增加两个物品（右图），儿童会报告上面一排有更多的物品。这是首先由皮亚杰发现的一个经典错误：儿童以物品列的长度而非物品数量为判断依据。然而梅勒和贝弗在1967年证实，当测试物品是巧克力豆时，儿童能够自发地选择下面那一排。因此，皮亚杰所发现的错误不能归咎于儿童没有能力进行算术，而应该归因于数量守恒测试中不够严谨的实验条件。
图2-1 皮亚杰数量守恒实验
然而，在第二种实验中，梅勒和贝弗的策略是将弹珠换成美味的食物（巧克力豆）。儿童不需要回答复杂的问题，而是可以选择两排中的一排并马上吃掉它们。这一程序的优点在于回避了语言理解的障碍，同时增加了儿童选择物品更多的那一排的动机。确实，使用巧克力豆进行测试时，大多数儿童都选择了两排中数量较多的那一排，即使物品列的长度和数量是矛盾的。这项测试展现了一个令人震撼的结果：儿童的计算能力与他们对巧克力豆的喜爱同样不容忽视！
虽然这个结果与皮亚杰的理论矛盾，但是3至4岁的儿童能够选出数量更多的一排巧克力豆可能并不令人惊讶。在梅勒和贝弗的实验中，不论是使用弹珠还是巧克力豆，2岁左右的儿童都表现优异，只有年龄较大的儿童才会在弹珠数量守恒测试中失败。儿童数量守恒测试成绩似乎在2至3岁期间暂时下降了。但是3至4岁儿童的认知能力显然不低于2岁儿童。因此，皮亚杰的测试不能够衡量儿童真实的数字能力。因为某些原因，这些测试会迷惑年长的儿童，使得他们比弟弟妹妹表现更差。
我认为事实是这样的：3至4岁的儿童以不同于成年人的方式来理解实验者的问题。问题的措辞和背景误导了儿童，让他们以为自己需要判断物品列的长度而不是物品的数量。在皮亚杰的原始实验中，实验者将完全相同的问题问了两遍：“两者是相同的吗？哪一排有更多的弹珠？”他第一次提出这个问题的时候，两排弹珠完全一一对应，再一次提问时，弹珠列的长度被改变了。
面对这两个连续的提问，儿童会怎么想呢？让我们假设儿童完全明白两排弹珠数量是相等的。他们一定会奇怪为什么大人会将无关紧要的相同问题重复两次。事实上，问一个对话双方都知道答案的问题违反了一般的对话规则。面对这个内在矛盾，儿童可能会认为，虽然从表面上来看第二个问题与第一个问题完全相同，但其意义却完全不同。可能孩子们的脑海中会有如下的推理：
如果大人将一个问题重复了两遍，那一定是因为他们在期待一个不同的答案。但是相对于前一种情境，唯一发生了变化的就是其中一排物品的长度。因此，新的问题一定与长度有关，虽然它看上去与数量有关。我猜我最好根据长度而不是根据数量来回答。
前文所描述的实验都认为，儿童获得“数量守恒”能力的时间早于我们以往所认为的年龄，这对皮亚杰所提出的数字能力发展时间表提出了挑战。但是，它们真的驳倒了整个建构主义吗？并非如此。皮亚杰的理论比我在前文中以简要的文字所描述的要巧妙得多，他的理论提供了多种途径来包容上述研究结果。
比如，他可以这样反驳：改动过的实验任务从原始的数量守恒测试中去除了一些容易引发矛盾的线索，它们因此变得过于简单。皮亚杰十分清楚他的测试会对儿童产生误导，事实上，这种误导是有意设置的，这样物品摆放长度就会与物品数量产生矛盾。在他看来，儿童只有在以纯粹的逻辑为基础判断出哪排物品的数量较多，反思已经发生的操作的逻辑后果，并且不因物品摆放长度的变化或实验者提问的措辞方式等无关变化而分心时，他们才算是真正掌握了算术的概念性基础。皮亚杰认为，抵抗误导线索的能力也是数字概念认知的重要组成部分。
皮亚杰还可以这样解释：选择更多数量的糖果不需要对数量有概念认知，感知运动协调就能使儿童找出更多的一堆并指向它。他的研究自始至终不停地强调儿童的感觉运动智能，所以他会很高兴地接受儿童在早期发展出了“选大”策略。他仍然可能坚持认为，使用这种策略并不需要对其逻辑基础有所理解；只有在更晚的时候，儿童才能反思他们的感觉运动能力，并发展出对数量的更抽象理解。在听说奥托·克勒对鸟和松鼠进行数量知觉的研究时，皮亚杰所做出的反应，就是这种态度的典型体现。他相信动物能够习得“感知运动数量”，而不是习得对计算概念的理解。
在20世纪80年代之前，这些挑战皮亚杰理论的实验并没有真正触及他的核心假设：婴儿没有真正的数量概念。毕竟，参加梅勒和贝弗弹珠实验的儿童中，最小的也已经2岁了。在这种背景下，对婴儿的科学研究突然具有十分重要的理论意义。是否有研究能够证明，在通过与环境的互动获取抽象概念之前，1岁以下的婴儿就已经掌握了数量概念的某些方面呢？答案是肯定的。20世纪80年代，研究者发现，6个月大的婴儿，甚至新生儿，都具有数量能力。
显然，为了揭示在如此早期的年龄阶段所具有的数量能力，运用语言提问是行不通的。因此，科学家们依靠新异事物对婴儿的吸引力来完成这类实验。家长们都知道，当婴儿一次又一次地看到同一件玩具时，最终会对这件玩具失去兴趣。这时，引入一个新玩具可以重新唤起婴儿的兴趣。这说明婴儿可以注意到第一件玩具和第二件玩具之间的区别，研究人员在实验室严格控制的环境下重复上述观察时，也得到了同样的结论。这项技术可以拓展到关于婴儿的所有类型的问题。也正是运用这种方法，研究者已经可以证明，在生命的早期，婴儿甚至新生儿，能够感知颜色、形状、大小之间的不同，更重要的是，他们也能感知数量之间的差异。
为了证明婴儿能够区分数量2和3，首先要重复呈现固定数量的物品集合，比如2件物品（图中左侧）。经过这个阶段的习惯化，婴儿在看到3件物品一组的图片（图中右侧）时会注意更长时间。由于物品的位置、大小以及物品本身一直在变化，只有对数量的敏感性才能解释婴儿被重新唤醒的注意。
图2-2 婴儿能够识别小数量
我们还不知道这种较早出现的对数量的敏感性到底是反映了婴儿视觉系统的能力，还是体现了他们对数字更抽象的表征。对于非常年幼的儿童，我们面临着与研究老鼠和黑猩猩一样的问题。比如，他们能否在声音序列中提取出声音的数量？更重要的是，他们是否知道抽象概念“3”代表了3个声音或3件物品？还有，他们是否能够在心理层面整合数量表征，进行诸如“1+1=2”的初级计算？
在这个多媒体实验中，一个6至8个月大的婴儿坐在两台幻灯片投影仪前。右侧幻灯片展示2件随机排列的常见物品，左侧幻灯片上展示3件物品。同时，婴儿会听到两个屏幕之间的扬声器播放的一串鼓点。像之前的实验一样，有一台隐形摄像机记录婴儿的注视轨迹，这样实验者就能计算出婴儿看每张幻灯片的时间。
起初，婴儿十分专注，他们认真地观察图片。显然，3件物品的图片比2件物品的图片更为复杂，所以婴儿对其投入了较多的时间和注意力。然而在几个实验轮次过后，这种偏差逐渐消失，同时出现了一个有趣的现象：若幻灯片上物品的数量与听到的鼓点数相同，婴儿注视该幻灯片的时间会更长。他们会在听到3声鼓点时投入更多的时间看有3件物品的幻灯片，而在听到2声鼓点时倾向于看有2件物品的幻灯片。
看起来，婴儿似乎能够识别不断变化的声音数量，并且能够将其与眼前出现的物品数量相比较。当两者数量不匹配时，婴儿不再探究这张幻灯片而会看向另一张。几个月大的婴儿就能够应用这种复杂策略，这一事实表明，他们的数量表征没有局限于低层次的视知觉或听知觉。对此最简单的解释是，儿童确实感知的是数量，而不是听觉模式或物品的几何排列。看到3件物品和听到3个声音，都会激活他们大脑中数字“3”的表征。这种内在的、抽象的、跨通道的表征使婴儿能够意识到幻灯片上物品的数量与同时听到的鼓点数量之间的对应性。记得吗？动物也表现出类似的行为：它们也拥有对3个声音和3次闪光做出相同反应的神经元。在进化过程中，有一种数字知觉的抽象模块深深植入人类和其他动物脑中。婴儿的行为也许很好地反映了这一点。
我们现在要将婴儿和其他物种的行为进行对比。我们在上一章看到，黑猩猩能够进行简单的加法运算，比如，它们会将2个橙子和3个橙子相加，并得出近似的答案。幼小的婴儿是否也能做到这一点呢？乍一看，这似乎是一个相当大胆的假设。我们更倾向于认为，对数学知识的习得发生在幼儿园阶段。20世纪90年代，一个突破旧观念的观点终于得到实证研究的证实：计算能力在婴儿一岁前就已存在。迄今为止，科学界进行了许多有关婴儿和动物数学知觉研究的实验，因此完全有能力进行这种实验，并能够获得引人瞩目的研究结果。
在所有此类情境中，与不涉及违背物理规则的控制组相比，婴儿的惊讶体现在对场景注视时间的显著增加上。卡伦·温的设计的诀窍在于，她将这种方式用于探测婴儿的数感。她给婴儿展示一些表现数字转变过程的事件，比如，一个对象加另一个对象，并探测婴儿能否精确地预期到结果。
到达实验室之后，4个半月大的被试们会发现一个木偶剧台，剧台正面有可以活动的遮屏（见图2-3）。实验者拿着一个米老鼠玩具在剧台的一边出现，并将它放置在台上。之后，遮屏就会升起，挡住玩具。接着，实验者伸出手将另一个米老鼠玩具放置在台上，然后把空着的手缩回去。事件的整个过程是对“1+1”的具体描述：起初，遮屏后只有1个玩具，之后加上了1个。婴儿并没有同时看到2个玩具，而是先看到1个，再看到1个。那么，他们能否推测出遮屏后应该有2个米老鼠玩具呢？
卡伦·温的实验表明4个半月大的婴儿期望“1+1”的结果是2。首先，一件物品被藏在遮屏后。之后加上另一个完全相同的玩具。最后，遮屏降下，有时台上会有2个玩具，有时则只有1个（另一个已在被试不知情的情况下被移走了）。婴儿对不可能事件“1+1=1”的注视时间普遍长于对可能事件“1+1=2”的注视时间，这表明婴儿期望看到有2件物品。
图2-3 卡伦·温的实验
为了找到答案，实验者设计了一个意想不到的场景：当遮屏降下时只有1个米老鼠玩具！在被试不知情的情况下，2个玩具中的1个已经通过暗门被移走了。为了评估婴儿的惊讶程度，实验者记录了他们关注“1+1=1”这一不可能情况的时间，并与他们关注可预料情况“1+1=2”的时间做比较。相较于可能事件“1+1=2”，婴儿对错误加法“1+1=1”的关注时间更长，平均为1秒。人们可能还会对此提出反对意见，认为婴儿并不是真正进行了加法运算，而仅仅是因为看1个对象的时间多于看2个对象的时间。然而，这种解释是站不住脚的，因为第二组婴儿的实验反驳了这种解释。这一组的婴儿看到的是“2-1”的操作而不是“1+1”的操作。在呈现结果时，婴儿对遮屏后仍有2个物品感到惊讶，相比可能事件“2-1=1”，他们对“2-1=2”的观察时间平均长了3秒。
正如卡伦·温自己所说，对于一个故意唱反调的人，这个结果仍然不能表明婴儿能够进行准确的计算。他们可能仅仅知道在客体被添加或被移走时，客体的数量被改变了。因此，他们知道“1+1”不可能等于1、“2-1”不可能等于2，而并不知道这些操作的确切结果。不过，这种牵强的解释没有通过实证的检验。实验者可以重复“1+1”的加法操作，并给出2个或3个对象的结果。卡伦·温重复了这个过程，同样观察到，4个半月大的婴儿注视不可能结果（3个对象）的时间比注视可能结果（2个对象）的时间更长。婴儿知道“1+1”不等于1，也不等于3，而是确切地等于2，这个结果是无可辩驳的。
我希望这些实验能够让读者相信幼儿拥有对数字的自然天赋。但是，这并不意味着应该让蹒跚学步的儿童报名参加业余数学课程。如果你的孩子在基础加法运算中出现了很大的错误，我也不会建议你去咨询儿童神经科医生。如果那些冒充内行者将我对皮亚杰理论的反驳用作托词，宣称他们能够在孩子出生后的第一年提升其智力，方法是向婴儿展示其根本无法理解的阿拉伯数字甚至日语假名写成的加法算式，那么，我将非常遗憾。虽然幼儿确实拥有数学能力，但是这种能力仅局限于最基础的算术。
在上图的情境中，1只鸭子和1辆玩具卡车交替地出现在遮屏的右侧和左侧。尽管客体本身发生了改变，但是遮屏落下后，婴儿并没有对遮屏后只有1件物品感到奇怪。在下图的情境中，遮屏之间有一段空隙，如果1件物品从右端移动到左端，就不可能不出现在空隙中。在这种情境下，如果物品交替地从右侧遮屏和左侧遮屏后出现，且没有在遮屏的空隙中出现，此时，婴儿会认为存在2件物品，当遮屏落下后，如果只看见1件物品，他们会感到惊奇。
图2-4 婴儿根据客体的轨迹而非客体的特性来估计数量
物体的空间轨迹信息确实为数字知觉提供了关键线索。需要注意的是，这个结论并没有驳倒我之前所提到的转盘实验。转盘实验证明，婴儿并不在意遮屏后的物体是运动的还是静止的。事实上，我们有理由相信，在这项实验中，轨迹信息同样是十分关键的。比如在“1+1=2”的情境下，第一个米老鼠玩具被放置在遮屏后的转盘上之后，一个同样的玩具出现在遮屏右侧实验者的手中。这个玩具不可能是前一个玩具，因为前一个玩具不可能在不被看到的情况下从遮屏后被移走。因此，婴儿们得出结论，这是表面上与前一个玩具一模一样的第二个玩具，所以他们会预期存在2件物品。即使物品随后被移动，且它们的位置无法预测，这些并不重要，一旦“2”这一抽象表征被激活，它就能够抵制这类变动。离散物体位置的空间信息对于儿童在大脑中建立数字表征十分关键，但是一旦数字表征被激活，他们就不再需要此类信息了。
总的来说，婴儿对数量的推测似乎完全由客体的空间轨迹决定。如果他们看到的动作在不违背物理法则的条件下不可能由单个客体完成，那么他们就会得出至少存在2个客体的推论。否则他们就会坚持存在1个客体的默认假设，即便这种假设意味着这个客体在形状、大小和颜色方面会不断地产生变化。由此可见，婴儿的数量加工模块对客体的轨迹、位置和被遮挡情况高度敏感，同时他们会完全忽视形状和颜色的改变。婴儿从不在意客体本身的特性，对于他们来说，只有位置和轨迹才是真正重要的。
只有一个非常愚蠢的侦探才会忽视半数的可用线索。既然我们已经习惯于婴儿的高水准表现，那就不得不思考，这种策略是否并不像看起来那么缺乏智慧。婴儿的推理线是有缺陷的吗，或者与此相反，他们像福尔摩斯一样有智慧？毕竟每个人都知道，一个罪犯可以将他自己装扮成其他人，客体外表的变化也属于这种情况。比如，人脸的不同侧面是不同的视觉客体，但是婴儿会将它们视作同一个人的不同形象。既然一小片红色的橡胶可以在充气后变成一个粉色的大气球，儿童又怎么可能事先肯定一辆卡车不能将自己变成一个球呢？这种信息是不能够提前知道的，它必须通过不断遇到新的客体而一步步习得，而且在认识某物之前，最好不要有先入为主的偏见。这也许能够解释为什么婴儿会做出只有1件物品的假设。像优秀的逻辑学家一样，即便看到了物品形状和颜色的奇怪改变，他们也会坚持这种假设，直到有明确的证据能够证伪。
3岁至4岁的儿童认为，这一集合包含了6把叉子。他们一定会将每1个独立物品计为1个单位。
图2-5 叉子的数量
在本章中，我似乎总是把婴儿当作表现死板的迟钝机体。在谈论婴儿实验时，我们很容易忽视年龄组之间的差异可以小至几天，大至10到12个月。事实上，出生的第一年是婴儿大脑可塑性最强的阶段。在这一时期，婴儿日复一日地吸收大量新知识，因此我们不能把他们看作表现稳定的静止系统。刚一出生，他们就开始学习辨识母亲的声音和面孔、处理周围环境所使用的语言、探索如何控制身体移动等。我们有理由认为，数字能力的发展不会在这个学习与探索的大爆发期缺席。
为了公平地对待婴儿智力的易变性，我在本章中提到的数字能力应被放入一个动态框架中。鉴于我们对出生后第一年中数字表征的发展逻辑还所知甚少，这是一个极其冒险的尝试，但是我们至少可以对此类能力在短短几个月中发展的顺序和方式进行尝试性的描述。
我们从出生说起。在这个阶段，婴儿已经表现出辨别数字的能力。新生儿可以区分2个和3个客体，甚至也可能区分3个和4个客体，同时，他们的耳朵能够注意到2个声音和3个声音之间的区别。因此，新生儿的大脑显然在出生前就配备了数字探测器，这很可能是由人类的先天基因决定的。事实上，婴儿很难在如此早的年龄阶段就从环境中获得足够的信息来学习数字1、2和3。即便我们假设出生前或者出生后几小时内的婴儿就能够进行学习（在这段时间，视觉刺激常常接近于零），问题仍然存在，因为对于一个忽视了所有数字信息的机体来说，学会去辨识它们是不可能的，这就像要求黑白电视机显示出色彩一样！更有可能的解释是：在基因的直接控制和环境的微弱引导下，专门用于识别数字的脑模块是在皮层神经网络的自然成熟过程中逐渐形成的。由于人类的基因编码是通过几百万年的进化过程传承下来的，人类有可能和其他物种共享同一种先天的原数系统——这个结论的合理性已在上一章被证实。
虽然新生儿配备了视觉和听觉方面的数量探测器，但是至今为止没有一项实验证明，这两种输入模式从婴儿一出生就开始进行交流并分享数字线索。目前，只有6至8个月大的婴儿能够将2个声音和2个图像，或者3个声音和3个图像联系起来。“儿童在不同感觉模式间的数量对应能力是通过学习获得的，与脑的成熟无关。”在决定性的幼儿实验出现之前，这种观点也仍然是可能成立的。听到单个物品发出1个声音，2个对象发出2个声音，或面对更多符合这一规律的情况时，婴儿会发现对象数和声音数之间存在着稳定的联系。但是这样一种回归到建构主义的观点是否有道理呢？一些对象发出的声音数会大于1，而另一些则根本不发出声音，环境线索不可避免是含糊的，而且我们也不清楚这些线索是否会对某种学习形式有所帮助。因此，我怀疑，婴儿倾向于认为声音和对象之间存在对应关系，这可能源于其在数字方面固有的抽象能力。
在儿童的加法和减法能力方面也存在类似的不确定性。在卡伦·温的“1+1”和“2-1”实验中，最小的实验对象也有4个半月大了。出生后的这段时间可能足以让一个婴儿通过实证发现，当一个客体随着另一个客体消失在遮屏后面时，只要有意寻找，就一定能够找到2个客体。在这种情况下，皮亚杰的理论是部分正确的：婴儿必须从环境中提取基本的算术法则——虽然他们开始这一行为的年龄阶段比皮亚杰预想的更早。但是也有可能这种知识天生就存在于婴儿大脑的特定结构中，直到他们在4个月左右发展出能够记忆遮屏后客体的能力时，这种知识的存在才变得明显。
一个初级的数字累加器能使6个月大的婴儿识别少量的物品和声音，并且能对它们进行简单的加减法运算。奇怪的是，他们可能缺乏一种简单的算术概念，那就是数字的顺序。我们几岁的时候才知道3大于2呢？有关这方面的幼儿实验研究非常少，并且难以令人信服。不过他们的研究结果表明，小于15个月的儿童没有表现出显著的排序能力。在这个年龄阶段，儿童开始表现得如同恒河猴阿贝尔、贝克以及黑猩猩舍巴：他们自发地选择两组玩具中数量较多的一组。年幼的儿童似乎没有意识到数字的自然顺序，就好像大脑中对1个、2个或3个对象做出反应的数字探测器之间没有任何特殊的关联。我们可以将儿童对数字1、2、3的表征与成人对蓝色、黄色、绿色的表征相类比。我们可以识别这些颜色，甚至知道蓝加黄为绿，但是我们对它们的顺序完全没有概念。与此类似，在不需要意识到3大于2，或者2大于1的情况下，婴儿也可以辨识1个、2个和3个对象，甚至也知道1加1等于2。
不过这仍然是一个假设，我们需要进行一系列的实验来证实或者驳斥这一假设。现阶段我们所能确定的是，婴儿在数学方面的表现远比我们在15年前所想的更加优秀。当他们吹灭第1支生日蜡烛时，父母完全有理由为他们感到骄傲，因为无论是通过学习还是因为脑的成熟，他们都已经获得了算术的基本原理以及清晰到令人惊讶的数感。